O que são Anuidades?

Dentro de Finanças Corporativas, as anuidades são uma série de pagamentos periódicos feitos em intervalos iguais de tempo. Sendo que, estes pagamentos podem ser realizados ou no final de cada período, ou no começo.

A maioria de nós já tivemos a experiência de realizar pagamentos fixos durante um certo tempo. Por exemplo, ao financiar um carro, ou uma casa, nós estaremos entrando em um tipo de empréstimo onde os pagamentos são feitos de forma recorrente e constante.

Estes pagamentos, são tecnicamente referidos como anuidades, que também podem ser encontradas por exemplo no recebimento de pagamentos advindos de um título de renda fixa.

A Anuidade é uma forma de calcular o custo de realizar tais pagamentos, assim como também é uma forma de saber quanto que o recebimento de tais pagamentos futuros valeriam hoje.

É assim que nos deparamos com os termos do valor futuro de uma anuidade e valor presente de uma anuidade (utilizada inclusive no processo de Valuation através do Fluxo de Caixa Descontado).

 

Valor Presente de uma anuidade

Suponha que nós iremos comprar um celular parcelado em 3 vezes de 500 reais, realizando o pagamento no final do período nos próximos 3 anos.

Tendo em conta uma taxa selic média prevista de 5% ao ano durante esse período, quanto custaria esse celular se o mesmo fosse pago a vista hoje?

Bom, para realizar este calculo, seria necessário apenas descontar o fluxo de caixa futuro dos pagamentos pela taxa selic determinada e encontrar o seu valor da seguinte forma:

Essa abordagem funciona muito bem para períodos pequenos. Porém, ao se calcular o valor presente do financiamento de um carro, por exemplo, o fluxo de caixa futuro será muito maior do que apenas 3 parcelas, podendo chegar até mesmo a mais de 400, o que inviabiliza a formula demonstrada acima.

Para isto foi desenvolvido o atalho para o seu calculo, sendo apresentado neste artigo como o valor presente de uma anuidade. Encontrado pela formula abaixo:

Onde:

C = Valor do pagamento periódico

r = taxa de juros

t = período

Utilizando-a então, encontraremos o mesmo valor anterior:

 

Valor Futuro de uma anuidade

O valor futuro de uma anuidade é o calculo que dirá quanto uma série de pagamentos regulares irá valer em algum ponto no futuro, dada uma taxa de juros específica.

Portanto, se você investe certa quantidade de valor em uma base regular, esta formula te dirá quanto você terá no futuro. além disso, caso você pense em fazer um empréstimo, esta formula poderá te dizer qual foi o custo total do seu financiamento.

Como exemplo, imagine um investimento onde daqui a um ano você pretende investir 500 reais para então investir mais 500 durante os próximos 2 anos. Se o investimento tem uma taxa de retorno de 5%, quanto ele valerá no final deste período?

Poderemos chegar no valor final de forma muito simples, como demonstrado abaixo:

Como anteriormente, esse método funciona muito bem para períodos curtos de tempo, enquanto que para períodos mais extensos ele pode se tornar um pouco trabalhosa para se calcular…

Para isso, nós temos o atalho, que nada mais é do que a formula do valor futuro de uma anuidade, que pode ser encontrada abaixo:

Onde:

C = Valor do pagamento periódico

r = taxa de juros

t = período

Utilizando-a então, encontraremos o mesmo valor anterior:

 

Anuidades comum e Anuidade Antecipada

Dentro da matemática financeira existem dois tipos de anuidades: a anuidade comum e a antecipada.

Até agora nós apenas vimos como calcular as anuidades comuns que são as anuidades cujo pagamentos são feitos no final de cada período… Caso o pagamento tivesse sido feito no começo de cada período o cenário mudaria e a anuidade se tornaria antecipada.

Quando tomamos um empréstimo, por exemplo, o primeiro pagamento normalmente é realizado no final do próximo mês.

Entretanto, no financiamento de um apartamento o primeiro pagamento é antecipado. Por isso existem esses dois tipos de anuidades.

Formula Anuidade Antecipada

Sabendo se calcular a anuidade comum, chegar no resultado da anuidade antecipada é muito simples!

Basta apenas você calcular o valor presente ou futuro da anuidade comum e então multiplicar o valor final por (1+r).

Portanto, temos que:

Anuidade Antecipada = Anuidade comum * (1+r)

Anuidades Crescente

Comumente o fluxo de caixa em uma anuidade cresce ao longo do tempo.

Em realidade, este é o caso, por exemplo, dentro de um processo de Valuation, onde você está tentando encontrar o valor justo de uma ação e para isto utiliza o método do fluxo de caixa descontado para poder encontrar o valor presente do fluxo de caixa crescente de uma empresa.

Levando em conta que uma empresa irá pagar 500 reais nos próximos 5 anos a uma taxa de crescimento de 15% ao ano. Qual é o valor presente deste fluxo de caixa se utilizarmos uma taxa de desconto de 20%?

Para chegar a solução, utilizaremos a formula de uma anuidade crescente encontrada abaixo:

 

Utilizando a formula para resolver a questão apresentada acima, chegaremos ao resultado final abaixo: